AI 已经能够自主思考并证明新的数学规律了？
OpenAI 研究人员表示，自己喂给 GPT-5 Pro 一篇论文，结果模型读完之后得到了新的结论。
在凸优化问题当中，GPT-5 Pro 针对一个边界问题，给出了比原文更加精确的阈值和相应证明。
消息立即引发全网热议，不到半天推文就有 230 多万次阅读。
不过这位研究人员并没有将 GPT-5 Pro 的研究成果发表成论文，理由是被人类抢先了——
这篇论文后来又更新了一个版本，给出了新的边界，这个新的边界又把 GPT-5 Pro 反超了。
但是，GPT-5 Pro 的证明思路与此并不相同，说明它已经具备了独立探索的能力，所以人类的反攻也不影响这是 GPT-5 Pro 的一个新突破。
OpenAI 总裁 Brockman 甚至将这一成果称之为"生命迹象"。
凸优化曲线是凸的吗？
喂给 GPT-5 Pro 的这篇另论文，研究的是凸优化（convex optimization）问题，凸优化是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。
具体来说，这篇论文题目为《凸优化曲线是凸的吗？》，研究了这样的一个问题：
当使用梯度下降算法优化光滑凸函数时，其产生的优化曲线（optimization curve）是否是凸的？
这里的"优化曲线"指的是函数值 f ( x_n ) 随迭代次数 n 变化的曲线。如果这条曲线是凸的，意味着优化速率（即相邻两次迭代的函数值下降量）是单调递减的。
关于这个问题，论文的结论是优化曲线凸不凸，关键取决于步长（step size）的选择，具体包括如下几个关键点：
凸性保证区间：当步长 η ∈ ( 0, 1/L ] 时（L 为平滑度），优化曲线保证是凸的；
非凸可能区间：当步长 η ∈ ( 1.75/L, 2/L ) 时，即使梯度下降仍单调收敛，优化曲线可能不是凸的；
梯度范数性质：对于整个收敛区间 η ∈ ( 0, 2/L ] ，梯度范数序列
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